MODELO DE
INVENTARIO SIN DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Este
modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para
desarrollar las actividades de cualquier empresa.
Este es
un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones:
 |
La
demanda se efectúa a tasa constante.
|
|
El
reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).
|
|
Todos los coeficientes de costos son constantes.
|
En este
modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa
que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la
venta.
En la
siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.
Símbolos
Q =
Cantidad optima a pedir
Im =
Inventario Máximo
t =
Periodo entre pedidos
T =
Periodo de Planeación
En este
modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica
pedida.
Cabe
mencionar que esto no siempre es verdadero.
El
costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes
de costo:
|
Costo unitario del producto (C1)
|
|
Costo de ordenar una compra (C2)
|
|
Costo de mantener un producto en almacén (C3)
|
El
costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera:
Costo
por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo]
El
costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera
siguiente:
Costo
total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.
ANÁLISIS
DE ECUACIONES.
Costo
unitario por periodo.
El
costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad optima a
pedir.
C1
Q
Costo
de ordenar una compra.
Puesto
que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra esta
definido por:
C2
Costo
de mantener el inventario por periodo.
El
inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de
mantenimiento del inventario por periodo es:
Para
determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuación:
El
tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera:
Nota:
La demanda del articulo en un periodo de planeación se define con la letra D.
El
numero de periodos se expresa de la manera siguiente:
Si se
desea determinar el costo total en el periodo de planeación (T) se multiplica el
costo de un periodo por el numero de interperiodos (t) que contenga el periodo
de planeación. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuación:
Costo
Total = Costo (Q*)t
Otra
manera de representar el costo total para el periodo de planeación es por medio
de la siguiente ecuación:
Cuando
los componentes del costo total se representan gráficamente se obtiene un punto
óptimo(de costo mínimo).
Una
forma de determinar la cantidad optima a pedir es suponer diversos valores de Q
y sustituir en la ecuación anterior hasta encontrar el punto de costo mínimo. Un
procedimiento mas sencillo consiste en derivar la ecuación del costo total con
respecto a Q e igualar la derivada a cero.
Al
resolver esta derivada tenemos la ecuación para determinar la cantidad óptima a
pedir.
Q =
Esta
ecuación ocasiona un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos
costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el
modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.
Para
entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos mas importantes de este modelo de compra.
EJERCICIO
Una
empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su
costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar
una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. No se
permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar:
|
La
cantidad optima pedida
|
|
El
costo total por año
|
|
El
numero de pedidos por año
|
|
El
tiempo entre pedidos
|
Datos
C1=
$ 1.00
C2
= $ 400.00
C3
= $ 1.20
La
cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.
=
3 465 Unidades
El
costo total estará determinado por:
Costo =
[(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por año
El
numero de pedidos por año es
N = D /
Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año
El
tiempo entre pedidos es
t = Q
/ D = 3465 / 18000 = 0.1925 años
MODELO DE
INVENTARIO CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS
El
modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes
suposiciones:
|
La
demanda se efectúa a tasa constante.
|
|
El
reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).
|
|
Todos los coeficientes de costos son constantes.
|
Este
modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una
compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional,
el costo por unidad de faltante.
En este
modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad
pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en el siguiente
esquema.
Q =
Cantidad optima a pedir
S =
Cantidad de unidades agotadas
Im =
Inventario Máximo
t =
Periodo entre pedidos
T =
Periodo de Planeación
t1
= Tiempo en donde se cuenta con inventario
t2
= Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.
Por
consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por
agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la perdida de
ventas.
En este
modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un
periodo.
Costo
por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo]
ANÁLISIS
DE ECUACIONES
El
costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera
semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante.
Para
determinar el tiempo t1, el inventario máximo y el tiempo t2
en función de la cantidad optima a pedir (Q) y la cantidad de existencias
agotadas (S) se realiza el siguiente proceso.
El
inventario máximo estará definido por:
Im = Q
– S
Las
siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de triángulos:
Debido
a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden
representarse de la siguiente forma.
Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuación del costo por periodo
tenemos.
Multiplicando el costo de un periodo por el numero total de interperiodos que
tiene el periodo de planeación obtenemos el costo total.
Para
determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se
realiza una operación de derivación parcial con respecto a cada una de estas
variables.
El
resultado de estas operaciones nos da como resultado.
Para
entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos mas importantes de este modelo de compra.
EJERCICIO
Una
empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año,
su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de
ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00.
El costo por unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar:
Datos
C1=
$ 1.00
C2
= $ 400.00
C3
= $ 1.20
C4
= $ 5.00
La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.
 =
3 465 Unidades
El
costo total estará determinado por:
 =
747 Unidades 
El
numero de pedidos por año es
= 4.66
El
tiempo entre pedidos es
=0.215 |
MODELO
DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las
suposiciones de este modelo son las siguientes.
|
La
demanda se efectúa a tasa constante.
|
|
El
reemplazo es instantáneo(la tasa se reemplazo es finita).
|
|
Todos los coeficientes de costos son constantes.
|
|
La
tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.
|
Este
modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el
costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2).
Para
determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de
compra sin déficit.
En el
siguiente esquema se representa este modelo.
Q =
Cantidad optima a producir
R =
Tasa de manufacturación
Im =
Inventario Máximo
t =
Periodo entre tandas de producción
T =
Periodo de Planeación
t1
= Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible
t2
= Tiempo en donde no se cuenta con inventario
El
costo de organizar una tanda por periodo estará determinado por
El
tiempo entre tandas de producción estará definido por
Puesto
que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición el inventario máximo por
periodo es el tiempo de manufacturación t1 multiplicado por la
tasa de acumulación, en donde la tasa de acumulación es la tasa manufacturación
R menos la tasa de demanda D, obteniendo como resultado:
Im= t1(R
- D)
El
tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar Q
unidades:
Por
consiguiente el inventario máximo estará definido por:
Otra
forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente:
Para
determinar el costo total por el periodo de planeación se procederá a
multiplicar el costo por periodo por el numero de tandas de producción.
Para
encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuación y se iguala
con cero.
En
donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuación:
Esta
cantidad optima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de
almacenamiento y los costos de organización de una tanda de producción.
Para
entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos mas importantes de este modelo de manufacturación.
EJERCICIO
=
4 470 Unidades
=
$ 40, 026
=
2 235 Unidades
MODELO
DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las
suposiciones para este modelo son las siguientes:
|
La
demanda se efectúa a tasa constante.
|
|
El
reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita).
|
|
Todos los coeficientes de costos son constantes.
|
|
La
tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.
|
En la
siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.
Q =
Cantidad optima a pedir
S =
Cantidad de unidades agotadas
Im =
Inventario Máximo
t =
Periodo entre tandas de producción
T =
Periodo de Planeación
t1
t4= Tiempo de manufacturación
t2
t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.
El
costo de un periodo de producción estará determinado por la siguiente ecuación:
Por
definición tenemos
Otra
manera de representar el costo de producción para un periodo tenemos.
Multiplicando la ecuación anterior por el numero de periodos de producción
tenemos el costo total para el periodo de planeación:
Para
determinar la cantidad optima Q se obtienen las derivadas parciales con respecto
a Q y a S.
Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado:
Para
entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos mas importantes de este modelo de manufacturación.
EJERCICIO
Datos
D = 18, 000 Unidades por año
R = 3,000 por mes
C1 = $ 2.00
C2 = $ 500.00
C3 = $ 0.15 por mes
C4 = $ 20.00 por año
La cantidad optima estará definida por:
=
4670 Unidades 
=
193 Unidades
MODELO
DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES
FUNDAMENTOS
Este
modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir,
la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos.
Algunas
empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten
realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos totales
mas bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la
siguiente gráfica se representa este modelo.
Ni
= Cantidades a pedir
Costoi
= Costos de adquirir la cantidad Ni
En este
modelo se realizan descuentos según la cantidad a comprar, por ejemplo, una
empresa distribuye artículos, sus precios son los siguientes:
De
|
A
|
Costo Unitario
|
0
|
10,
000
|
$
5.00
|
10,
001
|
20,000
|
$4.50
|
20,
001
|
30,
000
|
$3.00
|
30,
001
|
En
adelante
|
$2.00
|
Según
estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas
tendrán un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20,
001 y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00.
En la
siguiente gráfica se presentan los datos antes descritos.
Esto
resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener
inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios
bajos.
Con
este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero
los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente.
Cabe
mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercancía en ocasiones
mantenerla en un almacén le ocasiona deterioro.
Para
realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de
cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo.
Pasos
para la aplicación de este modelo.
Para
realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente gráfica
en donde se representa este modelo.
PASO
1.
El
primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de
pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos
con que se cuentan.
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1,
C2, C3, C4) de los descuentos.
Q =
Cantidad Optima
D =
Demanda del artículo.
C1
= Costo unitario del artículo.
C2
= Costo de ordenar un pedido.
i =
Porcentaje sobre el precio del artículo por mantenimiento en inventario.
Existen
ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacén adicional, entonces la
ecuación que definida de la siguiente forma:
En
donde C3 + iC1j será el costo total de mantener en
almacén.
PASO 2.
El
segundo paso es realizar una comparación de los valores de Qj con sus
respectivos niveles de precio(Ci), por ejemplo, se compara el valor
obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del
costo de C1, si este se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1
entonces este valor de Q se tomará como un valor optimo. De igual manera se
realizará un a comparación entre Q2 y el intervalo de N1 y
N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos.
En caso
de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la cantidad
optima estará definida por el limite inferior del intervalo.
En la
gráfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por
consiguiente el valor de Q2 será su limite inferior, o sea, Q2
= N1.
PASO 3.
El
tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores
óptimos obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la
siguiente ecuación.
PASO 4.
El
cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El
valor de Q utilizado para determinar este costo será la cantidad optima a pedir
según los costos estimados en el planteamiento del problema.
Para
entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada
uno de los pasos anteriormente mencionados.
EJERCICIO.
Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes características:
|
Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidades
|
|
Costo de procesar una orden $ 32.00
|
|
Intereses anuales, impuestos y seguros como una fracción del valor de la
inversión sobre el inventario promedio 20 %.
|
|
El esquema de precios es el siguiente:
|
Cantidad
|
Precio
|
0
< Q < 1, 000
|
$
3.50
|
1, 000 < Q < 2, 000
|
$
2.95
|
2, 000 < Q
|
$
2.00
|
No se
permiten faltantes el lote se entrega en un embarque.
RESOLUCIÓN.
Datos.
D = 10,
000 Unidades
C2
= $ 32.00
C11
= $ 3.50
C12
= $ 2.95
C13
= $ 2.00
i = 20
%
Nota:
Cabe
hacer mención que el costo de mantener una unidad en almacén esta definido por
C3 = iC1j.
Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente gráfica.
Para
iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito.
PASO 1.
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos
proporcionados.
Para C11
= $ 3.50 tenemos:
=
956.18
Para C12
= $ 2.95 tenemos:
=
1041.51
Para C13
= $ 2.00 tenemos:
=
1264.91
Con los
datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades optimas que se
encuentran dentro del intervalo correcto.
Cantidad
|
Consideración
|
0
< Q1 = 956.18 < 1, 000
|
Ö
|
1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000
|
Ö
|
2, 000 < Q3 = 1264.91
|
X
|
Debido
a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará
definido por su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.
Los
datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente
gráfica.
PASO
3.
Ahora
procederemos a determinar la costo total de los valores óptimos obtenidos
anteriormente.
El
costo total para el primer valor optimo obtenido es (Q1 = 956.18):
=
$ 35, 669.32
El
costo total para el segundo valor optimo obtenido es (Q2 = 1041.51):
=
$ 30, 114.48
El
costo total para el segundo valor optimo obtenido es(Q3 = 2000):
=
$ 20, 560.00
PASO 4.
Ahora
solo falta determinar el mínimo valor del costo total calculado anteriormente.
Vemos que el valor mínimo es el del Costo Total3 por
consiguiente la cantidad optima a ordenar es de 2,000 unidades.
En la
siguiente gráfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de
los costos totales y la determinación del menor costo.
Como se
puede ver en la gráfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades.
Podemos
concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000
unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.
MODELO
CON DESCUENTO INCREMENTALES
FUNDAMENTOS
Este
modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la
cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades
este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artículos que se encuentran
dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo supongamos que tenemos
la siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25 000 unidades de
cierto producto.
De
|
A
|
Costo Unitario
|
0
|
10,
000
|
C11
|
10,
001
|
20,000
|
C12
|
20,
001
|
30,
000
|
C13
|
30,
001
|
En
adelante
|
C14
|
En la
siguiente gráfica se presentas los costos unitarios de este producto.
Para
determinar el costo de 25 000 unidades se tomarán 10 000 unidades a un costo de
C11, 10 000 unidades a un costo de C12 y 5 000 unidades a
un costo de C13.
Se
toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios hasta que se
logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en
comparación al modelo de descuentos en todas las unidades en donde el precio se
toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida.
Por
consiguiente el costo de 25 000 unidades será:
Costo =
C11(10 000) + C12(10 000)+ C13(5 000)
Para el
modelo de descuentos en todas la unidades estaría definido de la siguiente
manera:
Costo =
C13(25 000)
En la
siguiente gráfica se presentan los costos que nos representaría adquirir una
cierta cantidad de un producto, por ejemplo, si queremos adquirir alguna
cantidad que se encontrase entre el intervalo de N0 y N1
la línea de costo estaría definida de la siguiente manera:
Si la
cantidad a adquirir sobrepasará el intervalo de N0 y N1,
y se ubicará ahora entre el intervalo de N1 y N2
la línea de costo estará representada por:
Esto se
realiza para todos los intervalos considerados, dando como resultado la
siguiente gráfica.
Ahora
podemos concluir que el costo no se incrementa linealmente, sino que toma
diversos estados en relación a la cantidad requerida.
En este
modelo se deberá determinar la cantidad optima a pedir en base a los costos
unitarios con los que se cuenten, es decir, se determinará la cantidad optima
para cada costo unitario.
Es
necesario también definir el costo de adquirir una cantidad Nj, es se
realiza mediante la siguiente ecuación.
Para
adquirir una cantidad N3 el costo de esta se le deberá sumar los
costos anteriores, o sea, N1 y N2, esto se realiza debido
a las bases en las que se fundamenta el modelo anteriormente explicadas.
El
costo optimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente
ecuación.
El
costo total para un periodo de planeación estará definido por la siguiente
ecuación.
Si a
esta ecuación la derivamos con respecto a Q obtendremos la ecuación para
determinar la cantidad optima a pedir.
En
ocasiones algunas empresas manejan un costo de almacén adicional, entonces la
ecuación es la siguiente:
En
donde C3 + iCj será el costo total de almacén.
Para
entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada
uno de los pasos anteriormente mencionados.
Ejercicio
Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes características:
|
Uso
estimado anual a tasa constante 120, 000 unidades
|
|
Costo de procesar una orden $ 800.00
|
|
Intereses anuales, impuestos y seguros como una fracción del valor de la
inversión sobre el inventario promedio 10 %.
|
|
El
costo de mantener es de $ 6.00.
|
|
El
esquema de precios es el siguiente:
|
Cantidad
|
Precio
|
0
< Q < 10, 000
|
$
6.00
|
10, 000 <= Q < 30, 000
|
$
5.80
|
30, 000 <= Q
|
$
5.70
|
RESOLUCIÓN
Datos.
D = 120
000 Unidades
C2
= $ 800.00
i = 10
%
C3
= $ 6.00
La
siguiente gráfica nos representa la estructura de precios del problema.
Para
desarrollar mejor este modelo, se realizará una tabla la cual contendrá datos
referentes del problema que se analiza.
La
tabla se presentará de la siguiente manera:
J
|
Cj
|
Nj
|
V(Nj)
|
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
|
J =
Intervalos
Cj =
Precio unitario para el intervalo j
Nj =
Cantidad para el periodo j.
V(Nj) =
Costo de Nj unidades.
V(Q) =
Costo de Q unidades
Ahora
procederemos a iniciar el proceso de resolución del problema. Encontraremos los
costos de lotes para cada uno de los intervalos de productos.
V(N1)
= C1(N1-N0) = 6(10,000 - 0) = 60, 000
V(N2)
= C2(N2- N1) = 60,000 + 5.80(30,000 – 10, 000)
= 60,000+116, 000 = 176, 000
Nota.
En el paso anterior se le suma el costo del lote anterior al costo actual, es
decir, a 116 000 del costo del lote actual se le suma 60, 000 del costo
anterior.
El
costo optimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente
ecuación.
V(Q1)
= V(N0) + C1(Q –N0) = 0 + 6(Q - 0) = 6Q
V(Q2)
= V(N1) + C2(Q –N1) = 60 000 + 5.80(Q – 10,
000) = 5.80 Q + 6 000
Ahora
introduciremos los valores a la tabla quedando de la siguiente forma.
J
|
Cj
|
Nj
|
V(Nj)
|
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
|
1
|
$
6.00
|
10,
000
|
60,
000
|
6Q
|
2
|
$
5.80
|
30,
000
|
176, 000
|
5.80 Q + 6000
|
3
|
$
5.70
|
La
cantidad optima para los diferentes costos será:
=
5 393.59 Unidades 
=
10 105.82 Unidades 
=
14 555.82 Unidades
Los
valores obtenidos los compararemos con sus respectivos intervalos.
Cantidad
|
Consideración
|
0
< Q1 = 5393.59 < 10, 000
|
Si
|
10, 000 <= Q2 = 10 105.82 < 30, 000
|
Si
|
30, 000 <= Q3 = 14 555.82
|
No
|
En base
al análisis anterior tenemos que los costos para Q1 y Q2
son:
Costo
Total (Q1) = $ 739 130.07
Costo
Total (Q2) = $ 731 955.28
Ahora
podemos concluir que lo optimo será pedir 10 105.82 Unidades.
RESTRICCIONES
DE ÁREA DE ALMACENAJE E INVERSIÓN
FUNDAMENTOS
Existen
ocasiones en donde se involucran otro tipo de variables con referencia a la
cantidad optima a pedir, como por ejemplo el capital con que se cuente y el
espacio para almacenar las unidades adquiridas. Cuando una empresa maneja varios
tipos de productos vuelve complicado. La empresa debe de ajustar la cantidad
optima a pedir para todos sus productos a las restricciones de capital y área de
almacenaje.
Por
ejemplo una empresa maneja tres productos A, B, C y debe de realizar pedidos de
estos productos. El costo de estos pedidos no deben exceder al capital con que
cuente la empresa y al espacio del almacén destinado para almacenar estos
pedidos.
Para
resolver este tipo de problemas podemos seguir este un sencillo algoritmo.
PASO 1.
Calcular la cantidad optima para cada uno de los productos que maneje la
empresa. (Qn)
PASO 2.
Evaluar
si las cantidades optimas estimadas se encuentran dentro de las restricciones,
es decir, determinar si la restricción es activa.
(Restricción No activa)
(Restricción Activa)
Cuando
la restricción no es activa se pueden pedir la Qn unidades obtenidas. En
caso contrario estas Qn se deben ajustar a las restricciones.
Una
forma de ajustar las cantidades optimas a pedir a las restricciones es por
Multiplicadores de Lagrange realizando un algoritmo recursivo en donde el
resultado obtenido es aproximado con un cierto error de desviación.
Restricción No Activa
Cuando
la restricción no es activa el coso total para un periodo de planeación estará
definido por la siguiente ecuación:
La
cantidad optima se calculará con la siguiente ecuación:
Restricción Activa
Cuando
la restricción es activa el costo total para un periodo de planeación estará
definido por la siguiente ecuación.
La
cantidad optima se calculará con la siguiente ecuación:
l
= Valor Variable
ai
= Área que ocupa un articulo i
Para
entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada
uno de los pasos anteriormente mencionados.
Ejercicio
Determine la cantidad optima a ordenar de cada uno de los productos que maneja
una determinada empresa, la información sobre este problema se presenta a
continuación.
Producto 1
|
Producto 2
|
Producto 3
|
|
Demanda
|
10,
000
|
8,
000
|
12,
000
|
Costo de Ordenar
|
$
120
|
$
150
|
$
130
|
Costo de mantener
|
$ 5
|
$ 7
|
$ 6
|
Costo unitario
|
$
25
|
$
15
|
$
30
|
Área que ocupa
|
0.5
m2
|
1.0
m2
|
1.2
m2
|
La
empresa cuenta con un almacén de 1 500 m2, no tiene restricción sobre
el capital a invertir.
Resolución.
Para
desarrollar este problema aplicaremos el algoritmo antes descrito.
PASO 1.
Determinaremos las cantidades optimas para cada uno de los productos.
Q1
= 692.82(Producto 1)
Q2
= 585.54(Producto 2)
Q3
= 721.11(Producto 3)
PASO 2.
Ahora
evaluaremos si la restricción de área es activa o no, esto se realiza
multiplicando la cantidad optima obtenida para cada producto por el área que
ocupa cada producto.
Q1
= 692.82(0.5m2) =346.41
Q2
= 585.54(1.0m2) = 585.54
Q3
= 721.11(1.2m2) =865.33
El
espacio total que ocupa pedir estas cantidades es:
Espacio
total =1 797.28
Por lo
tanto la restricción es activa, entonces se desarrollará el algoritmo recursivo
para encontrar un intervalo donde se encuentre el valor de la restricción.
La
cantidad optima se determinará por la siguiente ecuación.
El
valor de l estará tomando diferentes valores hasta que se encuentre el intervalo
antes mencionado.
l
|
Q1
|
Q2
|
Q3
|
S Qiai
|
0.005
|
692.45(0.5m2)
|
585.12(1.0m2)
|
720.39(1.2m2)
|
1795.82
|
1
|
632.45(0.5m2)
|
516.39(1.0m2)
|
609.44(1.2m2)
|
1563.95
|
1.2
|
622.17(0.5m2)
|
505.29(1.0m2)
|
592.74(1.2m2)
|
1527.67
|
1.5
|
607.64(0.5m2)
|
489.89(1.0m2)
|
570.08(1.2m2)
|
1477.80
|
1.3664
|
613.98(0.5m2)
|
496.89(1.0m2)
|
579.85(1.2m2)
|
1499.39
|
Como
se puede apreciar el intervalo dentro de cual se encuentra 1 500 es 1.2 y
1.5.
Para
determinar el valor exacto se realiza una interpolación, dando como resultado l
=1.3664. las cantidades optimas para cada producto serán:
Q1
= 613.98 unidades
Q2
= 496.89 unidades
Q3
= 579.85 unidades
SISTEMA
DE INVENTARIO Q - SISTEMA DE INVENTARIO P
INTRODUCCIÓN
Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una
práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo,
los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general
almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su
"política de inventarios", es decir, cuándo y cómo se reabastece?. En una
empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y
tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en
empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al
aplicar la "administración científica del inventario". En particular, ellos
1.
Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de
inventarios.
2.
Derivan
una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
3.
Con
frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de
inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.
DEFINICIÓN
DEL PROBLEMA DE INVENTARIO
Un
problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes físicos o
mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de
tiempo especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes
para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones
considerando cuándo hacer pedidos y en qué cantidad, son típicas de cada
problema de inventario. La demanda requerida puede satisfacerse almacenando una
vez según todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de
tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son
sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento
(con respecto al horizonte completo).
Un
sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de
tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos.
Un sub-almacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad
de tiempo pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de
estar sin mercancía. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando
la cantidad ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente,
estar basadas sobre la minimización de un a función de costo apropiada la cual
balancea los costos totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.
Antes
de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero
características básicas de un sistema de inventarios:
|
Parámetros económicos:
estos parámetros incluyen los tipos siguientes:
|
a.
Costo
fijo.
Esto implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con la
preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente
se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.
b.
Precios
de compra o costo de producción.
Este
parámetro de especial interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o
rebajas en precio o cuando grandes corridas de producción pueden dar como
resultado una disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la
cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.
c.
Precio
de venta.
En algunas situaciones de inventarío la demanda puede ser afectada por la
cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está basado en un
criterio de maximización de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de
la mercancía. El precio de venta unitario puede ser constante o variable
dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad.
d.
Costo
de mantenimiento del inventario.
Esto
representa el costo de tener el inventario en el almacén. Incluye el interés
sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de
depreciación, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que
varían directamente con el nivel de inventario, así como con el tiempo que el
articulo se tiene en almacén.
|
Demanda.
El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista.
En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las
cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse
según períodos iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en
función de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas
estática y dinámica, respectivamente:
|
La
demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto período
no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una
distribución conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución
de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos
son equivalentes a demandas estática y dinámica en el caso determinista).
La
demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio del
período o unifórmente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantáneas y
uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de llevar el
inventario.
|
Ciclo para ordenar.
Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario. Un ciclo de
órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes
sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas:
|
a.
Revisión continua
donde
un registro del nivel de inventario se actual9iza continuamente hasta que se
alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto
se conoce algunas veces como el sistema de "dos depósitos".
b.
Revisión periódica
donde
los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados.
|
Demoras en la entrega:
Cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir
algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la
colocación de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En
general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista.
|
|
Reabasto del almacén:
aunque un sistema de inventario puede operar con demora en las entregas, el
abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El
instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme
puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la
organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la
entrega y también con reprovisamiento de almacén.
|
|
Horizonte de Tiempo:
el
horizonte define el período sobre el cual el nivel de inventarios estará
controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo
de la naturaleza o la demanda.
|
|
Abastecimiento múltiple:
Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de
almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de
almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una
fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación
puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda
pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente
se denomina sistema de abastecimiento múltiple.
|
|
Número de artículos:
Un
sistema de inventarios puede comprender más de un articulo (mercancías).
Este caso es de interés, principalmente si existe una clase de interacción
entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden competir en
espacio o capital total limitados.
|
SISTEMAS
DE INVENTARIO
Dos
sistemas de inventario muy utilizados son el sistema de pedido de tamaño fijo y
el sistema de pedido de intervalo fijo. Se designa como sistema Q al
sistema de pedido de tamaño fijo, mientras que el sistema de pedido de
intervalo fijo se designa como sistema P. La diferencia básica entre los
dos consiste en que en el sistema Q se pide una cantidad fija a intervalos
variables de tiempo y en el sistema P se ordena cantidad variable a
intervalos fijos de tiempo.
Formulas para los sistemas P y Q.
Para
determinar la cantidad pedida es:
El
tiempo entre pedido es (IP intervalo entre pedidos):
Las
existencias de seguridad (ES):
ES
para el sistema P se calcula de la siguiente forma ya que este
sistema tiene como base el intervalo entre pedidos más el tiempo promedio de
anticipación (IP + L), entonces ES queda:
Cantidad pedida
=
Q óptimo + existencias de seguridad - inventario disponible –
unidades pedidas + demanda promedio en el tiempo de anticipación
El
costo total anual se calcula con la siguiente ecuación.
en
donde:
|
C1
: es el Costo de una unidad
|
C2
: es el Costo de hacer una compra
|
C3
: es el Costo de almacenar
|
Dm
: es la Demanda máxima
|
 :
es la Demanda promedio |
t
=
tiempo entre pedidos
|
L=
tiempo de anticipación
|
ES
:
son las existencias de seguridad
|
Cuando
el sistema de inventario es determinístico y la tasa de demanda es constante,
realmente hay poca diferencia entre los sistemas Q y P. Primero
analizaremos el sistema Q con los siguientes datos.
Ejemplo
La de
manda de un articulo particular es 18,000 unidades / año. El costo de
almacenamiento por unidad es de $1.20 por año y el costo de ordenar una compra
es de $400, el tiempo de anticipación (L) es de 20 días, el costo de una unidad
es de $1. (Se supone 1 año = 250 días):
Para
determinar la cantidad a pedir se hace lo siguiente:
unidades
El
intervalo entre pedidos es:
1 año =
250 días
días
La
demanda diaria se saca de la siguiente forma. Como la demanda es de 18,000 por
unidades por año y 1 año = 250 días, entonces:
unidades / día
El
tiempo de anticipación es L=20 días; por tanto el número de unidades que podrían
requerirse durante el tiempo de anticipación es:
Demanda
en el periodo de anticipación = D L , si el tiempo de anticipación es de 20 días
y la demanda diaria es de 72 unidades / día, entonces la demanda en periodo de
anticipación es 72(20)=1,440 unidades.
La
representación gráfica de estas cantidades que se muestra en la figura 2-1
indica la siguiente regla de pedido: Verificar continuamente nivel de
inventario, y cuando el nivel del inventario alcance 1440 unidades, se ordenan
3,465 unidades.
Aplicando esta regla se obtiene un costo total anual de $22,156 sin permitir
déficit.
=
18,000 + 2,078 + 2078 = $ 22,156 por año.
Si se
permite déficit el punto de pedido disminuye. Por ejemplo, puede suponerse que
el tiempo de anticipación de 20 días y el numero de unidades agotadas de 747, el
punto de pedido es
72(20)
- 747 = 693 unidades
Si el
tiempo de anticipación hubiera sido mayor que 48 días, el nivel (punto) de
pedido sobrepasa el nivel de inventario. Por ejemplo, puede suponerse que el
tiempo de anticipación del ejemplo 2-1 es 60 días en lugar de 20
días. Esto indicaría un punto de pedido de
60(72)
= 4.320 unidades
Sin
embargo, esto es imposible ya que la figura 2-1 indica que el nivel inventario
nunca es mayor que 3,465 unidades. El valor de 4,320 unidades implica que cuando
el número de unidades en inventario (disponible) y el número de unidades pedidas
pero no recibidas es 4,320 unidades, entonces se hace un pedido de 3,465
unidades.
Ahora se discute un sistema P.
En el
ejemplo anterior debería usarse un intervalo entre pedidos de 48 días ya que
este es el intervalo óptimo indicado por un balance entre los costos de compra e
inventario. Cualquier intervalo entre pedidos menor que 48 días ocasiona mayores
costos de compra, y cualquier intervalo entre pedidos mayor que 48 días ocasiona
déficit.
días 
El
sistema P representado en la figura anterior para los datos del ejemplo
anterior indica la siguiente regla de pedido: determinar el nivel de inventario
cada 48 días y en ese momento pedir una cantidad igual a Cantidad pedida = Q
óptimo + existencias de seguridad - existencias disponibles - unidades pedidas +
cantidad requerida para un período completo de anticipación.
En este
caso, el tamaño del pedido es igual a
3,465 +
0 – 1,440 - 0 + 72(20) = 3,465 unidades
Esta
cantidad pedida debe ser la misma en cada punto de pedido ya que todas las
componentes de la ecuación de la cantidad pedida son constantes debido a que el
sistema es determinístico y la tasa de demanda es constante. Además, por las
mismas causas los períodos entre pedidos (48 días) son iguales en ambos
sistemas. Por consiguiente, los dos sistemas dan iguales resultados
siempre que los sistemas sean determinísticos y la tasa de
demanda sea constante.
Se
presentan diferencias entre los dos sistemas cuando la demanda, el tiempo de
anticipación, o ambos se vuelven probabilísticos.
Un
enfoque para manejar sistemas probabilísticos de inventario es suponer un modelo
de inventario basado en existencias de seguridad (existencias amortiguadoras).
Las existencias de seguridad sirven de amortiguador para absorber las
variaciones de la demanda y del tiempo de anticipación. También sirven como
medio de regulación de las unidades agotadas. Este enfoque permite una
aproximación razonable hacia una solución óptima. Es una aproximación ya que
supone que las existencias de seguridad para el tiempo de anticipación y el
intervalo entre pedidos son independientes. Obviamente, esta suposición no es
correcta.
Ahora
podemos destacar que el
sistema Q y el sistema P tienen algunas diferencias las cuales en ocasiones
no son muy notorias.